Articulo

Métodos de Análisis del Comportamiento Sísmico de Muros de Gravedad

Tania B. Ubillús

Departamento de Engenharia Civil – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, bustamante@aluno.puc-rio.br

Celso Romanel

Departamento de Engenharia Civil – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, romanel@puc-rio.br

1. INTRODUÇÃO

No Peru, como em vários países andinos, o comportamento de estruturas de contenção é considerado um problema geotécnico importante, devido à atividade sísmica intensa que ocorre em extensas regiões ao longo da costa do Pacífico. A ruptura de estruturas de contenção pode causar grandes danos em estradas, barragens, indústrias, etc., com riscos a vidas humanas bem como com graves consequências econômicas, sociais e ambientais.

Este trabalho apresenta uma revisão de alguns métodos propostos na literatura para o projeto de muros de gravidade sob carregamento sísmico, procurando, através de um exemplo numérico, comparar os resultados obtidos com a aplicação de diferentes abordagens de cálculo.

2. COMPORTAMENTO ESTÁTICO

Métodos de equilíbrio limite são bastante aplicados na análise do comportamento estático de estruturas de contenção, taludes de solo, capacidade de carga de fundações, etc., em parte devido à simplicidade matemática da formulação, em parte pela longa e contínua experiência de utilização no projeto de obras geotécnicas.

 

2.1 Método de Coulomb (1776)

Considerando o muro de gravidade de altura H representado na figura 1, o equilíbrio das forças atuantes sobre uma cunha de solo granular, com peso específico e ângulo de atrito resulta na seguinte expressão para o empuxo ativo:

 ecua106.PNGcom o coeficiente de empuxo ativo KA definido por:

 

ecua107.PNGonde é o ângulo de atrito da interface solo– muro e os ângulos e são indicados na figura.

 geo1.PNGFigura 1. Cunha de solo delimitada pela superfície do aterro, face do muro de gravidade e superfície de ruptura (esquerda); polígono das forças atuantes sobre a cunha de solo (direita) – Kramer (1996).

 

3. COMPORTAMENTO DINÁMICO

A resposta dinâmica de estruturas de contenção é complexa. Valores dos deslocamentos e de tensões dependem do comportamento do aterro, do solo de fundação, da inércia e rigidez da estrutura, das características do registro sísmico, etc. De modo geral sabe-se que:

As estruturas podem se movimentar por translação ou rotação. Dependendo das características do muro, ambos os movimentos ocorrem ou um deles pode ser preponderante (Nadim e Whitman, 1984). A magnitude e distribuição das tensões são influenciadas pelo tipo de movimento (Sherif e Fang, 1984).

O empuxo máximo do solo geralmente ocorre quando o muro apresenta translação ou rotação contra o aterro (empuxo passivo), tornando-se mínimo no sentido oposto (empuxo ativo).

A posição do ponto de aplicação do empuxo movimenta-se ao longo da face do muro em contato com o aterro, pois a distribuição das tensões nesta interface varia com o tempo.

Valores de tensões residuais podem permanecer atuantes sobre a estrutura, mesmo após o término do evento sísmico (Whitman, 1990).

 

3.1 Método de Mononobe-Okabe (1929)

Os métodos rígido-plásticos, ou pseudo-estáticos, são baseados no equilíbrio de forças. Determinam os valores das forças atuantes sobre o muro de gravidade, bem como seus respectivos pontos de aplicação, possibilitando o cálculo de um fator de segurança contra a ruptura da estrutura. Um método pseudo-estático clássico foi desenvolvido por Okabe (1926) e Mononobe (1929), atualment conhecido como o método de Mononobe-Okabe.

As forças atuantes sobre uma cunha de solo granular, seco, são mostradas na Figura 2. Adicionalmente às forças estáticas consideradas na figura 1 do método de Coulomb (1776), o equilíbrio de forças agora envolve as forças pseudo-estáticas equivalentes às forças de inércia1, com componentes horizontal e vertical khW e kvW, respectivamente, onde kh e kv são os chamados coeficientes sísmicos.

 geo3.PNGFigura 2. Forças atuantes sobre a cunha de solo ativa no método de Mononobe-Okabe (esquerda); polígono de forças incluindo as forças pseudo-estáticas khW e kvW (direita) - Kramer (1996).

O empuxo ativo total PAE pode ser expresso

1 mas de sentidos contrários, de acordo com o princípio de d’Alembert.

de maneira  similar  à  apresentada  para  a condição estática (equação 1), i.e.

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com o coeficiente de empuxo ativo KAE na condição pseudo-estática definido por:

 

KAE =cos2(f - θ - ψ) / cos(ψ)cos2(θ)cos (δ+θ+ψ)

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O empuxo ativo total PAE (equação 3) pode ser subdividido na componente estática PA (equação 1) e na componente pseudo-estática

PAE

PAE  = PA+ DPAE

(5)

Admitindo que a componente estática atua na elevação H/3, a partir da base do muro, Seed e Whitman (1970) recomendam que a componente pseudo-estática seja localizada à distância 0,6H da base. Assim, a elevação h do ponto de aplicação da força resultante (empuxo ativo total PAE) é calculada pela média ponderada,

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Seed e Whitman (1970) concluem também que as acelerações verticais (ou coeficientes sísmicos k v ) podem ser ignoradas quando da utilização do método de Mononobe-Okabe para cálculo do empuxo ativo no projeto de muros de gravidade. estabilidade durante a ocorrência de carregamentos sísmicos e, adicionalmente, não devem sofrer deslocamentos permanentes excessivos após o final da excitação que possam comprometer sua utilidade.

3.2 Método de Richards-Elms (1979)

Estruturas de contenção devem apresentar estabilidade durante a ocorrência de carregamentos sísmicos e, adicionalmente, não devem sofrer deslocamentos permanentes excessivos após o final da excitação que possam comprometer sua utilidade.

Richards e Elms (1979) propuseram um método para análise sísmica de muros de gravidade baseado em deslocamentos admissíveis da estrutura. O método estima deslocamentos permanentes de maneira análoga ao tradicional método de Newmark (1965) empregado na determinação de deslocamentos permanentes em taludes de solo sob carregamento sísmico.

Na figura 3, entre os pontos o e a as acelerações do solo e da estrutura são iguais. A partir do ponto a, quando o fator de segurança pseudo-estático contra o deslizamento da base atinge o valor crítico 1, a estrutura passa a se movimentar com aceleração horizontal de escoamento ay constante e o solo com acelerações horizontais superiores entre os pontos a e b. Esta diferença entre valores de aceleração, integrada uma vez no tempo a ≤ t ≤ b, produzirá velocidades relativas da estrutura e,através de uma integração adicional no mesmo intervalo de tempo, deslocamentos relativos permanentes da estrutura, como ilustrado nos gráficos da figura.

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Figura 3. Esquema para cálculo dos deslocamentos permanentes da estrutura de contenção (Richards e Elms, 1979).

Do ponto b ao ponto c as velocidades do solo e do muro novamente coincidem, mas a estrutura volta a apresentar valores de velocidade e deslocamentos permanentes relativos entre os pontos c e d quando a anovamente o valor da aceleração horizontal de escoamento da estrutura.

A aplicação do método de Richards-Elms necessita da estimativa da aceleração de escoamento a da estrutura. Para o muro de gravidade com peso W y da figura 4, quando a cunha de solo ativa for submetida a uma aceleração suficiente para causar o deslizamento do muro sobre a sua base, as equações de equilíbrio dinâmico permitem escrever, na iminência do movimento:

ecua111.PNG

Considerando é o

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ângulo de atrito do solo de fundação, é possível determinar a aceleração de escoamento ay por:

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Figura 4. Muro de gravidade sob ação de forças pseudoestáticas.

Richards e Elms (1979) recomendam que P AE seja avaliado pelo método de Mononobe-Okabe (1929) o qual, por sua vez, também necessita do conhecimento prévio do valor de a para ser aplicado. A solução da equação 9 deve ser feita,portanto, de forma iterativa.

Utilizando o método de dupla integração no tempo, acima mencionado, Richards e Elms (1979) propuseram a seguinte correlação para determinação dos deslocamentos permanentes de muros de gravidade.

ecua114.PNG

onde  v max é  a  velocidade  máxima  e  a max a aceleração  horizontal  máxima,  ambas  na superfície do solo.

Whitman e Liao (1985) identificaram alguns erros  no  desenvolvimento  do  método  de Richards-Elms (1979), decorrentes de hipóteses simplificadoras adotadas. Dentre estas, a mais importante  é  a  desconsideração  da  resposta dinâmica  do  aterro  e  dos  mecanismos mecânicos  que  combinam  movimentos  de rotação e de translação. Whitman e Liao (1985), utilizando  os  resultados  de  análises  de deslocamentos  permanentes  em  14  casos históricos  publicados  por  Wong  (1982), propuseram  então  a  seguinte  correlação  para estimativa  do  deslocamento  permanente  domuro de gravidade:

ecua115.PNG

 4. MODELAGEM NUMÉRICA

Neste trabalho o programa computacional Plaxis 2D (Finite Element Code for Soil and Rock Analyses) foi empregado para investigar ocomportamento sísmico de um muro de gravidade, com o objetivo de comparar os resultados de uma análise mais abrangente com os resultados previstos pelos métodos aproximados descritos na seção anterior.

 

4.1 Descrição do problema

O muro é constituído por um material homogêneo, isotrópico e linearmente elástico  módulo de elasticidade E, coeficiente de Poisson ) e o solo representado mecanicamente através do modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb (E, , coesão c, ângulo de atrito ângulo de dilatância ´). Valores das propriedades dos materiais estão listados na tabela 1.

O critério de resistência de Mohr – Coulomb é utilizado para a descrição do comportamento mecânico na interface solo-estrutura, utilizando um fator multiplicativo Rinter para indicar uma redução da resistência ao longo da interface solo/muro (elementos de interface). Valores típicos de Rinter estão listados na tabela 2.

ecua116.PNGTabela 2. Valores típicos de fatores de redução de resistência Rinter (Pérez More, 2003)

Tipo de Interfase

Rinter

Areia/aço

0.667

Argila/aço

0.5

Areia/concreto

0.8-1

Solo/geogrelha

0.8-1

Solo/geotextil

1

4.2  Análise pseudo-estática

A simulação numérica por elementos finitos de uma análise pseudo-estática foi feita aplicando-se uma força de corpo em todos os elementos da malha com valor equivalente a uma aceleração horizontal de valor constante. Os resultados assim obtidos foram então comparados com os previstos pela solução de Mononobe-Okabe, considerando-se  kv = 0, b =0°,  q=0°,δ = 29.6° (correspondente a Rinter =  0,8), f = 35°e  diversos valores do coeficiente sísmico horizontal kh.

A figura 5 mostra graficamente a variação do coeficiente de empuxo ativo KAE com valores de aceleração horizontal normalizada kh = ah/g, obtida pelos métodos de Mononobe-Okabe (1929) e elementos finitos. Observa-se que, de maneira geral, há boa concordância entre estes resultados. A figura 6 indica a variação do ponto de aplicação do empuxo ativo.

geo61.PNGFigura 5. Variação do coeficiente de empuxo ativo KAE com a aceleração horizontal normalizada kh determinada pelo método de Mononobe-Okabe (1929) e por elementos finitos.

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Figura 6. Variação do ponto de aplicação h do empuxo ativo, determinado pelos métodos de Mononobe-Okabe (1929) e por elementos finitos.

4.3 Análise sísmica

O acelerograma mostrado na figura 7 se refere ao terremoto de Lima (Peru) ocorrido em outubro de 1974, com uma duração superior a 90 segundos. Este registro foi normalizado para um valor máximo de aceleração de 0,5g.

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Figura 7. Acelerograma do terremoto de Lima (1974) normalizado para uma aceleração máxima de 0,5g.

 

Para evitar problemas de reflexão de ondas espúrias nos contornos da malha de elementos finitos, foram utilizados contornos silenciosos (Lysmer e Kuhlemeyer, 1969), constituídos por amortecedores viscosos dispostos ao longo dos contornos laterais do modelo discreto.

As componentes de tensão normal σn e de tensão cisalhante τ nos amortecedores viscosos devem ser iguais a

σn  = c1

ρ Cp  u˙x

(15)

τ = -c2

ρ Cs  u˙y

(16)

onde r é a massa específica do solo, Cp e Cs as velocidades de propagação das ondas P e S, respectivamente, c1 e c2 são coeficientes de amortecimento,    u˙x e  u˙y  as  velocidades  da partícula nas direções x e y.

De acordo com White et al (1977), os coeficientes c1 e c2 dependem do valor do coeficiente de Poisson n do solo, como indicado na Tabela 3. Nesta pesquisa foram utilizados c1 = 0.986 e c2 = 0.744 correspondentes ao valor u =0.25.

A figura 8 mostra a malha de elementos finitos utilizada nas análises sísmicas, aplicando-se na base do modelo, correspondente à profundidade do substrato rochoso, o acelerograma da figura 7.


Tabela 3. Valores de c1 e c2 em função do coeficiente de Poisson u do solo (White et al, 1977).

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geo12.PNGFigura 8. Malha de elementos finitos utilizada na análise sísmica.

 

O espectro de frequências da excitação sísmica e as velocidades de propagação das ondas no maciço de solo podem afetar a precisão dos resultados numéricos. Kuhlemeyer e Lysmer (1973) recomendam que para uma representação eficiente da transmissão das ondas através da malha, o tamanho do elemento l deve ser menor do que 1/10 a 1/8 docomprimento de onda associada à maior frequência do acelerograma de entrada.

5. RESULTADOS

5.1 Método de Richards-Elms (1979)

Os valores da aceleração de fluência ay determinados com base nas equações 3, 4 e 9, num processo de cálculo iterativo, resultaram em ay = 0.32g para interface rugosa (Rinter = 0.8) entre a base do muro e o solo de fundação e ay0.17g para uma interface lisa (Rinter = 0.48). Para determinar os deslocamentos permanentes pelo método de Richards-Elms (1979) é necessário também conhecer a aceleração e velocidade máxima na superfície do terreno, amax e vmax, respectivamente, apresentadas nos gráficos das figuras 9 e 10.

 

5.2 Método de Whitman-Liao (1985)

Com base nas figuras 9 e 10, a aplicação da equação 11 é imediata, resultando nos valores indicados na tabela 4.

 

5.3 Método dos Elementos Finitos

Os resultados das análises numéricas pelo método dos elementos finitos, realizadas com o programa computacional Plaxis 2D, estão apresentados na figura 11, com a história dos deslocamentos do muro de gravidade.

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Figura 9. Acelerações na superfície do terreno para o sismo de Lima (1974) normalizado para uma aceleração máxima de 0.5g, ay = 0.32g e ay = 0.17g.

geo15.PNGFigura 10. Velocidades na superfície do terreno para o sismo de Lima (1974) normalizado para uma aceleração máxima de 0.5g.

Da análise dos gráficos da figura 11 é possível então estimar-se os valores dos deslocamentos permanentes do muro, observando-se a formação de um patamar onde os valores ficam praticamente constantes ao longo do tempo, indicando ocorrência de deformações plásticas irrecuperáveis (tabela 4).

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Figura 11. História dos deslocamentos do muro de gravidade para o sismo de Lima (1974) normalizado para uma aceleração horizontal máxima de 0.5g.

Tabela 4. Deslocamentos permanentes do muro de gravidade considerando o sismo normalizado de Lima (1974).

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6. CONCLUSÕES

Muros de gravidade são normalmente projetados utilizando o tradicional método pseudo-estático de Mononobe-Okabe, ou alternativamente através do método de Richards-Elms (1979), baseado na analogia do bloco rígido de Newmark (1965). Uma das principais deficiências do método de Richards-Elms é que este não considera os efeitos de rotação da estrutura, mas apenas considera a hipótese de ruptura devido ao deslizamento do muro sobre sua base.

O método pseudo-estático de Mononobe-Obake (1929) apresenta uma variação quase linear dos coeficientes de empuxo com a aceleração horizontal, mostrando boa aproximação com as correspondentes quantidades calculadas neste caso com o método dos elementos finitos.

Nesta pesquisa foram determinados valores previstos de deslocamento do muro de gravidade bastante discrepantes entre si,quando calculados pelos métodos de Richards -Elms (1979), Whitman-Liao (1985) e pelo método dos elementos finitos. Observações semelhantes sobre esta disparidade de resultados também foram registradas na literatura.

Na figura 11 observa-se que a parte superior do muro sofre um deslocamento maior comparado com o seu pé, indicando movimentos de translação e de rotação, tanto mais importantes quanto menor for o fator de interação solo / muro Rinter.

 

REFERÊNCIAS

 

Coulomb C.A. (1776). Essai sur une application des règles des maximis et minimis a quelques problèmes de statique relatifs a l'architecture. Mémoires de l'Academie Royale Divers Savants, vol. 7, p,. 343–387.

Kramer, S.L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering. Prentice-Hall, Inc.

Kuhlemeyer, R.L.; Lysmer, J. (1973) – Finite element method accuracy for wave propagation problems. J. Soil Mech. Founds Div. ASCE, v. 99, p. 421-427.

Lysmer, J., Kuhlemeyer, R. (1969), Finite Dynamic Model for Infinite Media, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE.

Mononobe N. (1929) . On the Determination of Earth Pressures during Earthquakes. World EngineeringCongress, Tokyo, Japan, v.9, p. 176.

Nadim F., Whitman R.V. (1982), A Numerical Model for Evaluation of Seismic Behavior of Gravity Retaining Walls. Department of Civil Engineering,Massachusetts Institute of Technology.

Nadim F., Whitman R.V. (1984), Coupled Sliding and Tilting of Gravity Retaining Walls During Earthquakes, Proc. Eighth World Conf. onEarthquake Engineering, v.3, p. 477-484.

Newmark N. (1965). Effects of Earthquakes on Dams and Embankments. Géotechnique, vol. 115, n. 2, p. 139-160.

Okabe S. (1926). General Theory on Earth Pressures,

Journal of the Japanese Society of Civil Engineering,vol. 12, n.1.

Plaxis - Finite Element Code for Soil and Rock Analyses. Reference Manual.

Richards, R. Jr; Elms, D. G. (1979). Seismic Behavior of Gravity Retaining Walls. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, GT4, v.105, p. 449-464.

Seed, H., Whitman R. (1970). Design of Earth Retaining Structures for Dynamic Loads. Specialty Conference, Lateral Stresses in the Ground and Design of Earth Retaining Structures, ASCE.